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Calculs financiers de base : les annuités



Dans le cas d’un crédit, le remboursement ne s’effectue pas, du moins dans la plupart des cas, en une seule fois mais en plusieurs montants échelonnés dans le temps.
On appelle chaque montant une annuité par référence à une période annuelle mais plutôt pour signifier une suite de paiements ou versements à intervalle régulier pour une période de temps donnée.

Il importe à présent de savoir comment calculer une suite d’annuités en un seul montant équivalent pour en juger la vraie et unique valeur à une date donnée. Dans ce cas, on appelle la valeur actuelle celle obtenue par l’actualisation des différentes annuités. Par contre, on appelle la valeur acquise, la capitalisation à une date future d’un ensemble d’annuités.

La valeur actuelle (VA)

Comme son nom l'indique, il s'agit de mesurer la valeur au présent de plusieurs montants (annuités) disponibles dans le futur en actualisant chaque annuité et on en calculant la somme.

A titre d'exemple, combien je dois prêter au taux mensuel de 3% pour me faire rembourser 230 Euro pour les trois mois suivants ? Il s’agit simplement de calculer la valeur actuelle de ces trois sommes d’argent à recevoir :

exemple valeur actuelle

La valeur actuelle (VA) qui représente dans ce cas le montant à emprunter pour avoir trois remboursements mensuels de 230 Euro se calcule de la façon suivante :

VA = 230(1+3%)-1 + 230(1+3%)-2 + 230(1+3%)-3 = 650,58 Euro

Dans cet exemple nous n'avons que trois annuités constantes ce qui rend le calcul de la valeur actuelle plus aisé. En effet, le problème de se baser sur l'actualisation des annuités pour déterminer la valeur actuelle se pose en cas de plusieurs annuités, d'où l'intérêt d'avoir une formule qui permet ce calcul quelque soit le nombre d'annuités.

Considérons une serie de n annuités constantes de valeur a, alors la valeur actuelle sera :

valeur actuelle

VA = a (1+i)-1 +a (1+i)-2 + …+ a (1+i)-n

VA(1+i) = a + a(1+i)-1 +a(1+i)-2 + …+ a(1+i)-(n-1)

Si on déduit la première équation de la deuxième, on aura :

VA(1+i) – VA = a - a(1+i)-n

i.VA = a[1 - (1+i)-n ]

D'où la formule de la valeur actuelle de n annuités constantes et de montant a :

VA = a[1 - (1+i)-n ]/i

La valeur acquise (VF)

La valeur acquise est la valeur future d’une série d’annuités. A l’inverse de la valeur actuelle, la valeur acquise s’obtient en capitalisant toutes les annuités à la fin de la dernière somme reçue ou versée.

valeur actuelle

Tout comme la valeur actuelle, capitaliser chaque annuité puis faire la somme pour avoir la valeur acquise s’avère une tache difficile d’où l’intérêt de se servir de la formule démontrée ci-dessous :

VA =(1+i)-n VF donc VF = (1+i)n VA = (1+i)n.a[1 - (1+i)-n ]/i

d'oĂą la formule de la valeur acquise :

VF = a[(1+i)n - 1]/i


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