Calcul de l'intérêt composé d'un emprunt ou d'un prêt

Calculs financiers de base : l'intérêt composé

Le principe de l’intérêt composé consiste à prendre en compte comme base du calcul, non seulement le capital initial comme dans le cas de l’intérêt simple, mais également les montants d’intérêt qui seront générés au fur et à mesure de la durée du placement.

C’est ainsi que tout intérêt généré à une période déterminé sera capitalisé aux mêmes conditions que le capital initial pendant ce qui reste dans la duré du placement.

Donc l’intérêt composé est bien de l’intérêt simple plus la capitalisation des intérêts générés au cours de la durée du placement.

Prenons l’exemple d’un capital C₀ de 2000 Euro placé au taux mensuel de 1% pour 3 mois. Le capital et les intérêts généré à la fin de chaque mois seront :

Fin du premier mois : C₁=2000(1+1%)=2020 Euro
Fin du deuxième mois : C₂=2020(1+1%)=2040,2 Euro
Fin du troisième mois : C₃=2040,2(1+1%)=2060,602 Euro

Cet exemple nous permet simplement de bien comprendre l’origine et le principe du calcul de l’intérêt composé. Dans ce cas on a que trois périodes (3 mois) ce qui rend un tel calcul plus aisé, mais si nous avons un placement pour une durée plus longue (20 mois ou plus), on devrait avoir plus de patience pour calculer notre intérêt composé suivant cette méthode. Donc on a bien intérêt a avoir une seule formule qui nous permet de déterminer le montant de l’intérêt composé en un seul et unique calcul quelque soit la durée prise en compte.

Dans le calcul de l’intérêt composé on ajoute à la fin de chaque période, le montant de l’intérêt au capital précédent pour calculer l’intérêt de la période suivante. En effet, considérons un capital initial C₀ placé au taux i pendant n période, alors nous allons avoir les calculs suivants :

A la fin de première période : C₁=C₀ + I₁=C₀ + C₀.i = C₀(1+i)
A la fin de la deuxième période : C₂ = C₁ + C₁.i = C₁(1+i)=C₀(1+i)(1+i)=C₀(1+i)²
…………
A la fin de la Nième période : C_n=C₀(1+i)ⁿ

Ansi pour l'exemple de calcul cité ci-dessus en trois étaps pourrait être obtenu en appliquant la formule : C_n=C₀(1+i)ⁿ ==> C₃=C₀(1+i)³=2000(1+1%)³=2060,602

Exercices d'application pratique

1. Combien j’aurais à la fin de la troisième année d’un placement de 2000 Euro à un taux mensuel de 2% ?

Dans cette exemple, tous les éléments de la formule "C_n=C₀(1+i)ⁿ" sont identifiés, à savoir :

Le taux d'intérêt mensuel i=2% ;
Le capital prêté C₀=2000 Euro ;
La durée du prêt n=3*12=36mois.

Donc en appliquant simplement la formule, le produit du placement serait C₃₆=2000(1+2%)³⁶=4079,77Euro

2. Dans le cadre du même exercice précédent, Je voudrais savoir à quelle date j’atteindrais 5000Euro

En utilisant toujours la même fomule, nous avons : 5000=2000(1+2%)ⁿ avec n le nombre de mois nécessaires pour qu'un prêt de 2000Euro au taux mensuel de 2% produit 5000Euro (capital initial + les intérêts).

En simplifiant la formule nous avons : 1,02ⁿ=5/2.

Pour trouver la valeur de n, il faut se servir de la fonction logarithmique que nous allons introduire sur les deux coté de l'équation : Log1,02ⁿ=Log5/2 ce qui donne n*Log1,02=Log2,5

Finalement nous obtenons une durée de :
n=Log2,5/Log1,02=46,27mois c'est à dire 46mois plus 0,27*30=8jous

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