La géométrie euclidienne, une branche des mathématiques créée par le célèbre mathématicien grec Euclide, est bien plus qu’un simple ensemble de théorèmes et d’axiomes. En effet, elle demeure encore aujourd’hui un pilier fondamental dans l’étude des objets qui nous entourent et de l’espace dans lequel nous évoluons.
Le plan euclidien
Tout d’abord, intéressons-nous au plan euclidien, cet espace à deux dimensions où se situent tous les points, droites et segments étudiés en géométrie euclidienne. Ce plan est caractérisé par deux notions clefs : les distances et les angles.
Distances et angles
La distance entre deux points est calculée grâce à la formule du théorème de Pythagore. Les angles, quant à eux, sont mesurés en degrés ou en radians et permettent d’étudier les rapports entre les figures géométriques présentes sur le plan.
Fondements de la géométrie euclidienne : axiomes et postulats
Pour comprendre la géométrie euclidienne, il est essentiel de connaître les principes sur lesquels elle repose. Euclide a ainsi défini cinq postulats, qui sont des hypothèses acceptées comme vraies sans être démontrées :
- par deux points distincts passe une unique droite
- tout segment de droite peut être prolongé en une droite infiniment dans les deux sens
- pour tout point et toute distance, il existe un cercle de centre ce point et de rayon cette distance
- tous les angles droits sont égaux entre eux
- si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Ce cinquième postulat, également appelé postulat des parallèles, a été la source de nombreuses controverses et a mené aux développements des géométries non euclidiennes.
À partir de ces postulats, Euclide a développé un ensemble d’axiomes, qui sont des propositions admises comme vraies. Ces axiomes représentent la base de la démonstration de nombreux théorèmes en géométrie euclidienne.
Théorie des triangles et des polygones
La géométrie euclidienne met particulièrement l’accent sur l’étude des triangles et des polygones.
Triangles
Un triangle est une figure géométrique composée de trois côtés et trois angles. La somme des mesures des angles d’un triangle équivaut toujours à 180 degrés. Parmi les innombrables théorèmes concernant les triangles, on retrouve le fameux théorème de Pythagore, ainsi que les notions de trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) relatives aux triangles rectangles.
Polygones
Les polygones sont des figures géométriques fermées, formées par un ensemble de segments de droite. On étudie notamment les caractéristiques de ces figures, telles que leur périmètre, leur aire, leurs angles et leurs diagonales. Le cas particulier des quadrilatères (polygones à quatre côtés) est également étudié en profondeur en géométrie euclidienne.
Similitude et congruence entre figures
En géométrie euclidienne, on s’intéresse à deux types de transformation qui permettent de comparer et classifier les figures : la similitude et la congruence.
La similitude
Deux figures sont dites semblables si elles ont la même forme mais pas forcément la même taille. Autrement dit, elles peuvent être obtenues l’une de l’autre par une série de transformations comprenant des translations, rotations et dilatations proportionnelles.
La congruence
Deux figures sont dites congruentes si elles ont la même forme et la même taille. Il suffit alors de réaliser une série de transformations comprenant uniquement des translations et rotations pour passer de l’une à l’autre. La notion de congruence est liée à celle d’égalité dans le cadre de la géométrie euclidienne.
L’importance des constructions géométriques
Enfin, en plus des théorèmes et des axiomes, la géométrie euclidienne attribue une grande importance aux constructions géométriques. Ces constructions sont réalisées à l’aide d’instruments tels que la règle et le compas, et elles permettent de concrétiser les relations entre objets (points, segments, angles…) sur le plan.
La géométrie euclidienne, en plus d’être passionnante, constitue une base solide pour aborder d’autres branches des mathématiques et s’applique dans de nombreuses situations pratiques. Bien qu’elle soit née il y a plusieurs milliers d’années, elle reste une discipline incontournable dont la richesse se révèle au fil des concepts explorés.
