En mathématiques, la notation indicielle est une méthode utilisée pour représenter des grandeurs multidimensionnelles telles que les vecteurs et les matrices. Elle permet d’exprimer ces objets mathématiques de manière concise et facilite le calcul de certaines opérations telles que la somme et le produit.
Comprendre les bases de la notation indicielle
La notation indicielle fait appel à des indices pour désigner les éléments d’une structure multidimensionnelle. Ces indices peuvent être représentés par des nombres entiers ou des lettres, selon les conventions en vigueur. Dans le cas d’un vecteur, l’indice correspond au rang du composant dans la liste :
vi représente le i-ème élément du vecteur v (i = 1, 2, 3…).
Pour une matrice, deux indices sont généralement nécessaires :
Aij désigne l’élément situé à la i-ème ligne et la j-ème colonne de la matrice A.
Il convient de bien se familiariser avec cette notation car elle est largement employée depuis la fin du XIXe siècle en mathématiques appliquées telles que la physique, l’économie ou encore l’informatique.
La convention de sommation d’Einstein
Un des aspects les plus intéressants de la notation indicielle concerne la convention de sommation d’Einstein. Selon cette convention, lorsqu’un même indice apparaît deux fois dans une expression, on sous-entend qu’il faut effectuer la somme sur cet indice. Ainsi, on écrit simplement :
Aijvj pour signifier la somme ΣAijvj.
Cette convention permet d’éviter les Σ (symbole de la somme) et simplifie grandement l’écriture et le calcul des expressions impliquant des sommes.
Exemples d’utilisation de la notation indicielle
Le produit scalaire
Considérons deux vecteurs u et v de dimension n. Leur produit scalaire est défini par :
u.v = Σuivi,
moyennant quoi, en utilisant la notation indicielle et la convention de sommation d’Einstein, on peut écrire :
u.v = uivi.
Les dérivées partielles
La notation indicielle se révèle également utile pour les fonctions multivariées et les dérivées partielles. Supposons que G(x,y,z,t) soit une fonction à quatre variables :
La dérivée partielle de G par rapport à x peut être notée ∂G/∂x = ∂iG, avec i=1.
Analogiquement :
- ∂2G représente la dérivée partielle de G par rapport à y;
- ∂3G est celle par rapport à z;
- ∂4G est celle par rapport à t.
Fonctions et espaces : vecteurs et milieux continus
Les concepts indiciels sont fréquemment utilisés pour décrire des fonctions scalaires ou vectorielles dans des espaces multidimensionnels. Certaines grandeurs peuvent être tellement spécifiques selon le contexte qu’une écriture simple sous forme d’équation serait impossible sans simplification. La notation indicielle nous donne cette possibilité.
Un exemple concret en physique serait l’étude des milieux continus. Ainsi, les notions de contraintes, de traction, de pression ou encore d’élasticité nécessitent la prise en compte simultanée de plusieurs axes, caractéristiques ou dimensions. Que ce soit pour décrire des systèmes d’élasticité linéaire ou des matériaux aux propriétés plus complexes et diversifiées, un langage mathématique adapté se doit d’intervenir.
Notation indicielle et divergence/projection
Dans le domaine de la mécanique des fluides ou de l’électromagnétisme, il est fréquent de manipuler des opérations telles que le gradient, la divergence ou encore le rotationnel de champs scalaires ou vectoriels. Le recours à la notation indicielle offre un cadre simplifié pour le calcul de ces termes :
Si A = (A1, A2, A3) représente un champ vectoriel dans l’espace tridimensionnel et si B = (∇xA) est son rotationnel, alors :
Bi = εijk ∂j k/sub>,
Oùεijk représente le symbole d’antisymétrie de Levi-Civita.
En somme, la notation indicielle constitue un outil puissant et polyvalent pour exprimer et manipuler les objets mathématiques multidimensionnels tels que les vecteurs et les matrices. Elle permet une grande concision, simplifie les calculs et offre une démarche adaptée aux problématiques rencontrées notamment en physique, économie ou informatique.
